Tree

P O H O N ( T R E E )

Pohon (tree) merupakan salah satu bentuk khusus dari struktur suatu graf. Misalkan A merupakan sebuah himpunan berhingga simpul (vertex) pada suatu graf G yang terhubung. Untuk setiap pasangan simpul di A dapat ditentukan suatu lintasan yang menghubungkan pasangan simpul tersebut. Suatu graf terhubung yang setiap pasangan simpulnya hanya dapat dihubungkan oleh suatu lintasan tertentu, maka graf tersebut dinamakan pohon (tree). Dengan kata lain, pohon (tree) merupakan graf tak-berarah yang terhubung dan tidak memiliki sirkuit

Contoh

Hutan (forest) merupakan kumpulan pohon yang saling lepas. Dengan kata lain, hutan merupakan graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon. Pada Gambar 1 G₄ merupakan salah satu contoh hutan, yaitu hutan yang terdiri dari dua pohon.

SIFAT TREE

w  Misalkan G merupakan suatu graf dengan n buah simpul dan tepat n – 1 buah sisi. Jika G tidak mempunyai sirkuit maka G merupakan pohon.

w  Suatu pohon dengan n buah simpul mempunyai n – 1 buah sisi.

w  Setiap pasang simpul di dalam suatu pohon terhubung dengan lintasan tunggal.

w  Misalkan G adalah graf sederhana dengan jumlah simpul n, jika G tidak mengandung sirkuit maka penambahan satu sisi pada graf hanya akan membuat satu sirkuit.

Pohon Merentang Minimum (Minimum Spanning Tree)

w  Spanning Tree dari suatu graf terhubung merupakan subgraf merentang yang berupa pohon. Pohon merentang diperoleh dengan cara menghilangkan sirkuit di dalam graf tersebut

Contoh spanning tree dari suatu graf terhubung (Munir, 2003) :

Terlihat bahwa T¹, T², T³, T⁴ merupakan spanning tree dari graf G. Perlu diperhatikan bahwa setiap graf terhubung berbobot paling sedikit mempunyai satu buah spanning tree. Pohon rentang yang memiliki bobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree). Dalam kehidupan nyata, salah satu contoh aplikasi spanning tree adalah menentukan rangkaian jalan dengan jarak total seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain.

 Dalam menentukan suatu minimum spanning tree dari suatu graf terhubung, kita dapat menentukannya dengan mengunakan dua cara yaitu algoritma Prim dan algoritma Kruskal.

w  Algoritma Prim memiliki langkah-langkah sebagai berikut :

1. Pilih sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.

2. Pilih sisi (u, v) dalam G yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, dengan syarat sisi tersebut tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.

3. Ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

                Jumlah langkah seluruhnya dalam algoritma Prim adalah sebanyak jumlah sisi di dalam spanning tree dengan n buah simpul, yaitu (n – 1) buah.  CONTOH

w  Algoritma Kruskal agak berbeda dengan algoritma Prim. Pada algoritma Kruskal, semua sisi dengan bobot yang minimal dimasukan kedalam T secara berurutan. CONTOH

Pohon Berakar

Pada suatu pohon, yang sisi-sisinya diberi arah sehingga menyerupai graf berarah, maka simpul yang terhubung dengan semua simpul pada pohon tersebut dinamakan akar.

Suatu pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar maka pohon tersebut dinamakan pohon berakar (rooted tree).

Simpul yang berlaku sebagai akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol. Sementara itu, simpul yang lain pada pohon itu memiliki derajat masuk sama dengan satu.

Pada suatu pohon berakar, Simpul yang memiliki derajat keluar sama dengan nol dinamakan daun.

CONTOH

Pada pohon berakar diatas :

• a merupakan akar

• c, f, g, h, i, dan j merupakan daun

Terminologi pada Pohon Berakar

1. Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)

                b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,

                a adalah orangtua dari anak-anak itu

2. Lintasan (path)

                Lintasan dari a ke h adalah a, b, e, h. dengan pnjang lintasannya adalah 3. 

                f adalah saudara kandung e, tetapi, g bukan saudara kandung e, karena orangtua 

               mereka berbeda.

            3.       Subtree

 

            4.          Derajat (degree)

                       Derajat sebuah simpul adalah jumlah anak pada simpul tersebut.

5.              Daun (leaf)

Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.

6.               Simpul Dalam (internal nodes)

Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam.

7.               Aras (level) atau Tingkat

 

8.       Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)

Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

pohon biner (binary tree).

Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting (diperhatikan) maka pohon yang demikian dinamakan pohon terurut (ordered tree). Sedangka, pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. Jika n = 2, pohonnnya disebut pohon biner (binary tree).

CONTOH SPANING TREE

 Tentukan minimum spanning tree dari graf dibawah ini :

1. Algoritma Prim
2. Algoritm Kruskal

 

JAWAB Algoritma Prim

  

JAWAB algoritma Kruskal